Question

已知

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)
（Ⅰ）若存在实数k和t，使

x

=

a

+(t2-3)

b

，

y

=-k

a

+t

b

，且

x

⊥

y

，试求函数关系式k=f（t）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，确定k=f（t）的单调区间；
（Ⅲ）设a＞0，若过点（a，b）可作曲线k=f（t）的三条切线，求证：-

3

4

a＜b＜f(a)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，知

a

•

b

=

3

2

-

3

2

=0，|

a

|=2，|

b

|=1，由此能求出k=f（t）．
（Ⅱ）由f（t）=

t3-3t

4

，知f′（x）=k′=

3t2-3

4

=

3(t+1)(t-1)

4

，由此能求出k=f（t）的单调区间．
（Ⅲ）设切点为（t，

t3-3t

4

），k切==f′(t)=

3t 2-3

4

，则切线方程为：y-y-

t3-3t

4

=

3t2-3

4

(x-t)，由切线方程过（a，b），知b-

t3-3t

4

=

3t2-3

4

(a-t)，由此能够证明
-

3

4

a＜b＜f(a)．

解答：解：（Ⅰ）∵知

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，
∴

a

•

b

=

3

2

-

3

2

=0，|

a

|=

3+1

=2，|

b

|=

1 4 + 3 4

=1，

x

=

a

+(t2-3)

b

=（

3

，-1）+（

t2-3

2

，

3 t2-3 3

2

）=（

t2-3+2 3

2

  ，

3 t2-3 3 -2

2

），

y

=-k

a

+t

b

=（-

3

k，k）+（

1

2

t，

3

2

t）=（

1

2

t-

3

k，

3

2

t+k），
∴

x

•

y

=-4k+t（t²-3）=0，
∴k=f（t）=

t3-3t

4

．
（Ⅱ）∵f（t）=

t3-3t

4

，
∴f′（x）=k′=

3t2-3

4

=

3(t+1)(t-1)

4

，
令k′＞0，得t＞1，或t＜-1，
令k′＜0，得-1＜t＜1，
∴k=f（t）的单调增区间为（1，+∞），（-∞，-1）；单调减区间为（-1，1）．
（Ⅲ）设切点为（t，

t3-3t

4

），k切==f′(t)=

3t 2-3

4

，
∴切线方程为：y-y-

t3-3t

4

=

3t2-3

4

(x-t)，
∵切线方程过（a，b），
∴b-

t3-3t

4

=

3t2-3

4

(a-t)，
4b-t³+3t=（3t²-3）（a-t），
4b-t³+3t=3at²-3t²-3a+3t，
∴3a+4b=-2t³+3at²有三个不同的根，
令g（t）=-2t³+3at²，
g′（t）=-6t²+6at=-6t（t-a），
令g′（t）=0，得t=0，或t=a．
令g′（t）＞0，得0＜t＜a，
令g′（x）＜0，得t＞a，或t＜0，
∴g（t）_极小值=g（0）=0，
g（t）_极大值=g（a）=a³，
∴要使3a+4b=-2t³+3at²有三个不同的根，
则0＜3a+4b＜a³，
∴-

3a

4

＜b＜

a3-3a

4

，
故-

3

4

a＜b＜f(a)．

点评：本题考查数量积判断两个平面向量垂直的条件的应用，具体涉及到平面向量的性质、导数的应用、函数性质、切线方程等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．