Question

12．心理健康教育老师对某班50个学生进行了心里健康测评，测评成绩满分为100分．成绩出来后，老师对每个成绩段的人数进行了统计，并得到如图4所示的频率分布直方图．
（1）求a，并从频率分布直方图中求出成绩的众数和中位数；
（2）若老师从60分以下的人中选两个出来与之聊天，则这两人一个在（40，50]这一段，另一个在（50，60]这一段的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．由频率分布直方图能求出众数、中位数．
（2）因为共有50个学生，从频率分布直方图中知（40，50]这一段有2人，（50，60]这一段有4人．通过列表可知，从这6个人中选2个人共有n=${C}_{6}^{2}$=15种选法，从（40，50]和（50，60]这两段中各选一人共有m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$=8种选法，由古典概型能求出这两人一个在（40，50]这一段，另一个在（50，60]这一段的概率．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由（0.004+2a+0.02+0.024+0.036）×10=1，
解得a=0.008．  …（2分）
从频率分布直方图得知众数为75．…（3分）
40至70的频率为0.32，40至80的频率为0.68，
故知中位数在70至80之间，设为x，
则（x-70）×0.036+0.32=0.5，
解得x=75，故中位数为75．…（6分）
（2）因为共有50个学生，
故从频率分布直方图中知（40，50]这一段有2人，（50，60]这一段有4人．
通过列表可知，从这6个人中选2个人共有n=${C}_{6}^{2}$=15种选法，
从（40，50]和（50，60]这两段中各选一人共有m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$=8种选法，
故由古典概型知概率为p=$\frac{8}{15}$． …（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．