Question

下列结论一定正确的是（　　）

• A、y=sin2x+

  4

  sin2x

  的最小值为4
• B、y=x+

  4

  x

  的最小值为4
• C、x²+3＞3x恒成立
• D、若

  1

  x

  ＜1，则x＞1

Answer 1

分析：对于A，观察题设条件需要对表达式换元，进行等价转化，再新解析式下求最值，不要忘记等号成立的条件，对于B，当x＜0时，函数没有最小值，对于C，由于x²+3-3x=（x-

3

2

）²+

3

4

＞0，对于D，若

1

x

＜1，则x＞1或x＜0，从而选出正确选项．

解答：解：令sin²x=t∈（0，1]则函数y=sin2x+

4

sin2x

=t+

4

t

，t∈（0，1]
∵t+

4

t

≥4，等号当且仅当t=

4

t

时成立，即t=±2，但t∈（0，1]，
故y=sin2x+

4

sin2x

的最小值不能为4，故A错；
对于B，当x＜0时，函数没有最小值，故B错；
对于C，由于x²+3-3x=（x-

3

2

）²+

3

4

＞0，故x²+3＞3x恒成立，正确；
对于D，若

1

x

＜1，则x＞1或x＜0，故错．
故选C．

点评：本题考点是不等式求最值，求解上要注意变换形式的作用，换元最大的好处是形式简单便于观察解题的方向．