Question

已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，若A、B是C₂上两点且OA⊥OB，则直线AB与y轴的交点的纵坐标为

1. A.
   
2. B.
   16
3. C.
   8
4. D.
   

Answer 1

B
分析：抛物线焦点为F（0，），由e==2，抛物线焦点至双曲线一渐近线距离d==2，推导出抛物线方程为：x²=±16y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得到x₁x₂=-256，y₁y₂=256．设AB方程为：y=kx+m，根据韦达定理，x₁x₂=-16m，从而得到m=16，由此能求出直线AB与y轴的交点的纵坐标．
解答：抛物线焦点为F（0，），
e==2，
∴c=2a，
b==，
双曲线一渐近线方程为：y==，
=0，
∵抛物线焦点至双曲线一渐近线距离d==2，
∴p=±8，
∴抛物线方程为：x²=±16y，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴=（x₁，y₁），=（x，y₂），
∵，∴•=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵=16y₁，=16y₂，
∴x₁x₂+=0，
∴x₁x₂=-256，①
y₁y₂=256，②
设AB方程为：y=kx+m，
x²=±16（kx+m），
x²±16kx-16m=0，
根据韦达定理，x₁x₂=-16m，
由①式得：-256=-16m，
∴m=16，
由直线方程x=kx+m可知，m是直线在y轴的截距，即是交点的纵坐标，
∴直线AB与y轴的交点的纵坐标为16，
故选B．
点评：本题考查直线与y轴交点的纵坐标的求法，具体涉及到双曲线、抛物线、韦达定理、点到直线的距离公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．