Question

（本小题满分16分）

如图，已知椭圆的左、右焦点分别为,其右准线与轴的交点为，过椭圆的上顶点作椭圆的右准线的垂线，垂足为，四边形为平行四边形。

（1）求椭圆的离心率；

（2）设线段与椭圆交于点，是否存在实数，使?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；

（3）若是直线上一动点，且外接圆面积的最小值是，求椭圆方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意：，即，

所以离心率.                  …………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，

故，，，，

所以椭圆方程是，即，

直线的方程是

由解得：（舍去）或

即，                    …………………………………………7分

，所以，

即存在使成立。      …………………………………………10分

（Ⅲ）解法一：由题可知圆心在直线上，设圆心的坐标为，

因圆过准线上一点B，则圆与准线有公共点，

设圆心到准线的距离为，则，即，

解得：或，             …………………………………………14分

又

由题可知，，则，

故椭圆的方程为．           …………………………………………16分

（若直接用圆与准线相切时面积最小来做，在答案正确的情况下本小题得3分，否则不得分）

解法二：设，，，

圆外接圆的方程是：

，

则，解得

所以圆心即     ……………………………………12分

则

令 ，

    …………………………………14分

由题可知，，则，

故椭圆的方程为．                   …………………………………16分

解法三：设，，，

外接圆的方程是：

，

则

，

由得

所以，或

所以

所以

所求椭圆方程是．                 …………………………………16分