(本小题共13分)
解:(Ⅰ)当n≥2时,
因为a
n=f(a
n-1),f(a
n)-f(a
n-1)=k(a
n-a
n-1),
所以a
n+1-a
n=f(a
n)-f(a
n-1)=k(a
n-a
n-1).
因为数列{a
n}是等差数列,所以a
n+1-a
n=a
n-a
n-1.
因为 a
n+1-a
n=k(a
n-a
n-1),所以k=1.…(6分)
(Ⅱ)因为f(x)=kx,(k>1),a
1=2,且a
n+1=f(a
n),
所以a
n+1=ka
n.
所以数列{a
n}是首项为2,公比为k的等比数列,
所以
.
所以b
n=lna
n=ln2+(n-1)lnk.
因为b
n-b
n-1=lnk,
所以{b
n}是首项为ln2,公差为lnk的等差数列.
所以 S
n=
=n[ln2+
].
因为
=
,
又因为
的值是一个与n无关的量,
所以
=
,
解得k=4.…(13分)
分析:(Ⅰ)当n≥2时,由a
n=f(a
n-1),f(a
n)-f(a
n-1)=k(a
n-a
n-1),得到a
n+1-a
n=f(a
n)-f(a
n-1)=k(a
n-a
n-1).由此能求出k.
(Ⅱ)因为f(x)=kx,(k>1),a
1=2,且a
n+1=f(a
n),所以a
n+1=ka
n.故
.所以{b
n}是首项为ln2,公差为lnk的等差数列.由此入手能够求出实数k.
点评:本题考查数列、不等式知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.