Question

如图，圆F：和抛物线，过F的直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，求的值是
A．   1     B.   2    C.   3     D. 无法确定

Answer 1

A

可分两类讨论，若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标，从而|AB||CD|=1．
若直线的斜率存在，设为直线方程为y=k（x-1），不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过AB分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用韦达定理及|AB|=|AF|-|BF|=x₁，|CD|=|DF|-|CF|=x₂，可求|AB||CD|的值．
解：若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标为（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），所以|AB|=1，|CD|=1，从而|AB||CD|=1．
若直线的斜率存在，设为k，因为直线过抛物线的焦点（1，0），则直线方程为y=k（x-1），
不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过AB分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，
把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由韦达定理有 x₁x₂=1
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，所以|BF|=|CF|=R=1
从而有|AB|=|AF|-|BF|=x₁，|CD|=|DF|-|CF|=x₂．
所以|AB||CD|=x₁x₂=1
故选A．
本题考查圆与抛物线的综合，考查分类讨论的数学思想，考查抛物线的定义，综合性强．