Question

（2012•石景山区一模）已知函数f（x）=x²+2alnx．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数g(x)=

2

x

+f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a
（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数f′(x)=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解
（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上的最小值即可

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

…（1分）
由已知f'（2）=1，解得a=-3．…（3分）
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；  …（5分）
（2）当a＜0时f′(x)=

2(x+ -a )(x- -a )

x

．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	(0， -a )	-a	( -a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是(0，

-a

)；
单调递增区间是(

-a

，+∞)．…（8分）
（III）由g(x)=

2

x

+x2+2alnx得g′(x)=-

2

x2

+2x+

2a

x

，…（9分）
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立．…（11分）
令h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上h′(x)=-

1

x2

-2x=-(

1

x2

+2x)＜0，
所以h（x）在[1，2]为减函数.h(x) min=h(2)=-

7

2

，
所以a≤-

7

2

．…（14分）

点评：本题主要考查了函数的导数的求解，利用导数判断函数的单调区间，体现了分类讨论思想的应用，及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化思想的应用．