Question

已知数列a₁,a₂,…,a₃₀,其中a₁,a₂,…,a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列；a₁₀,a₁₁,…,a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀,a₂₁,…,a₃₀是公差为d²的等差数列(d≠0).

(1)若a₂₀=40,求d.

(2)试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围.

(3)续写已知数列，使得a₃₀,a₃₁,…,a₄₀是公差为d³的等差数列，……依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer 1

解：(1)a₁₀=10,a₂₀=10+10d=40,

∴d=3.

(2)a₃₀=a₂₀+10d²=10(1+d+d²)(d≠0),

a₃₀=10［(d+)²+］,

当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时，a₃₀∈［7.5,+∞).

(3)所给数列可推广为无穷数列{a_n}，其中a₁,a₂,…,a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a_10n,a_10n+1,…,a_10(n+1)是公差为dⁿ的等差数列.

研究的问题可以是：试写出a_10(n+1)关于d的关系式，并求a_10(n+1)的取值范围.

研究的结论可以是：由a₄₀=a₃₀+10d³=10(1+d+d²+d³),?

依次类推可得a_10(n+1)=10(1+d+…+dⁿ)=

当d＞0时，a_10(n+1)的取值范围为(10,+∞)等.