Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2． （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连结BD， ∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，
∴BE⊥AB，PA⊥BE，
∵AB∩PA=A，∴BE⊥平面PAB，
∵BE平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BE⊥CD，又PA⊥底面ABCD，
以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，
过点E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，0，0），B（ ，0，0），D（0，﹣ ，0），A（ ，﹣1，2），
=（0，1，2）， =（ ，0，0）， =（0，﹣ ，0）， =（ ，﹣1，2），
设平面BPE的法向量 =（x，y，z），
则 ，取y=2，得 =（0，2，﹣1），
设平面DPE的法向量 =（a，b，c），
则 ，取a=2 ，得 =（2 ，0，﹣ ），
设二面角B﹣PE﹣D的平面角为θ，
cosθ= = = ．
∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）连结BD，推导出BE⊥AB，PA⊥BE，从而BE⊥平面PAB，由此能证明平面PBE⊥平面PAB．（Ⅱ）以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，过点E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PE﹣D的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．