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已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.现有以下两种设计,如图甲、图乙.图甲的过水断面为等腰△ABC,AB=BC,过水湿周l1=AB+BC 图乙的过水断面为等腰梯形ABCD,AB=CD,AD∥BC,∠BAD=60°,过水湿周l2=AB+BC+CD,若△ABC与梯形ABCD的面积都是S.

(1)分别求l1和l2的最小值;
(2)为使流量最大,给出最佳设计方案.
分析:(1)在图甲中,设∠ABC=θ,AB=BC=a,则S=
1
2
a2sinθ,可解得l1=2a≥2
2S
;在图乙中,设AB=CD=m,BC=n,由∠BAD=60°,可求得:AD=m+n,
由S=
1
2
(n+m+n)•
3
2
m,解得n=
2S
3m
-
m
2
,代入其面积表达式,应用基本不等式即可求得l22
43
S

(2)由(1)可得l1min=2
2S
,l2min=2
43
S
,比较
2
43
的大小即可.
解答:解:(1)在图甲中,设∠ABC=θ,AB=BC=a,则S=
1
2
a2sinθ,
∵S,a,sinθ均为正值,
∴a=
2S
sinθ
2S

当且仅当sinθ=1,即θ=90°时取等号,
∴l1=2a≥2
2S

在图乙中,设AB=CD=m,BC=n,由∠BAD=60°,可求得:AD=m+n(m>0,n>0).
由S=
1
2
(n+m+n)•
3
2
m,解得n=
2S
3m
-
m
2

∴l2=2m+n=2m+
2S
3m
-
m
2
=
2S
3m
+
3
2
m≥2
3
S
=2
43
S
,当且仅当
2S
3m
=
3
2
m,即m=
4S
3
3
时取“=“;
(2)由于
2
=
44
43
,则l2的最小值小于l1的最小值,
故在方案②中当l2取得最小值时的设计方案为最佳方案.
点评:本题基本不等式在最值问题中的应用,着重考查基本不等式,考查综合分析与运算的能力,属于难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网精英家教网已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.现有以下两种设计,其纵断面如图所示,图甲的过水断面为等腰△ABC,AB=BC,过水湿周l1=AB+BC;图乙的过水断面为等腰梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD,∠BAD=60°,过水湿周l2=AB+BC+CD.若△ABC和等腰梯形ABCD的面积都是S,
(1)分别求l1和l2的最小值;(2)为使流量最大,给出最佳设计方案.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.现有以下两种设计,如图:

图①的过水断面为等腰△ABCAB=BC,过水湿周

图②的过水断面为等腰梯形,过水湿周.若与梯形ABCD的面积都为S

(I)分别求的最小值;

(II)为使流量最大,给出最佳设计方案.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.现有以下两种设计,其纵断面如图所示,图甲的过水断面为等腰△ABC,AB=BC,过水湿周l1=AB+BC;图乙的过水断面为等腰梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD,∠BAD=60°,过水湿周l2=AB+BC+CD.若△ABC和等腰梯形ABCD的面积都是S,
(1)分别求l1和l2的最小值;(2)为使流量最大,给出最佳设计方案.

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科目:高中数学 来源:湖南省月考题 题型:解答题

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.现有以下两种设计,如图甲、图乙.图甲的过水断面为等腰△ABC,AB=BC,过水湿周l1=AB+BC 图乙的过水断面为等腰梯形ABCD,AB=CD,ADBC,∠BAD=60 °,过水湿周l2=AB+BC+CD,若△ABC与梯形ABCD的面积都是S.
(1)分别求l1和l2的最小值;
(2)为使流量最大,给出最佳设计方案。

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