【题目】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C,有如下四个结论:
(1)AC⊥BD;
(2)△ACD是等边三角形
(3)AB与平面BCD所成的角为60°;
(4)AB与CD所成的角为60°.
则正确结论的序号为 .
【答案】(1)(2)(4)
【解析】解:取BD的中点E,则AE⊥BD,CE⊥BD.∴BD⊥面AEC.
∴BD⊥AC,故(1)正确.
设正方形边长为a,则AD=DC=a,AE= a=EC.
∴AC=a.
∴△ACD为等边三角形,故(2)正确.
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°,故(3)不正确.
以E为坐标原点,EC、ED、EA分别为x,y,z轴建立直角坐标系,
则A(0,0, a),B(0,﹣
a,0),D(0,
a,0),C(
a,0,0).
=(0,﹣
a,﹣
a),
=(
a,﹣
a,0).
cos< ,
>=
=
∴< ,
>=60°,故(4)正确.
故答案为:(1),(2),(4)
取BD的中点E,则AE⊥BD,CE⊥BD.根据线面垂直的判定及性质可判断(1)的真假;求出AC长后,可以判断(2)的真假;求出AB与平面BCD所成的角可判断(3)的真假;建立空间坐标系,利用向量法,求出AB与CD所成的角,可以判断(4)的真假;进而得到答案.
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【题目】已知函数f(x)=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期及对称中心;
(2)当x∈[0, ]时,求f(x)的单调递减区间.
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【题目】设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值. (Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.
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【题目】设函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣ 和x=1处取得极值.
(1)求a,b的值及其单调区间;
(2)若对x∈[﹣1,2]不等式f(x)≤c2恒成立,求c的取值范围.
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【题目】数列{an}中,a1=1,Sn表示前n项和,且Sn , Sn+1 , 2S1成等差数列.
(1)计算S1 , S2 , S3的值;
(2)根据以上结果猜测Sn的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想.
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【题目】给出下列4个求导运算,其中正确的个数是( ) ①(x+ )′=1+
;
②(log2x)′= ;
③(3x)′=3xlog3e;
④(x2cos2x)′=﹣2xsin2x.
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8,其导函数y=f′(x)的图象经过点 ,如图所示,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对x∈[﹣3,3]都有f(x)≥m2﹣14m恒成立,求实数m的取值范围.
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