已知a , b都是正数,△ABC在平面直角坐标系xOy内, 以两点A (a ,0 )和B (0,b )为顶点的正三角形,且它的第三个顶点C在第一象限内.
(1)若△ABC能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 £ x £ 1, 0£ y £ 1}内, 试求变量 a , b 的约束条件,并在直角坐标系aOb内画出这个约束条件表示的平面区域;
(2)当(a, b )在(1)所得的约束条件内移动时,求△ABC面积S的最大值,并求此时(a , b)的值.(14分)
(14分)
[解析]:解: (1)由题意知:顶点C是分别以A、B为圆心,以|AB|为半径的两圆在第一象限的交点,由圆A: ( x – a)2 + y2 = a2 + b2 , 圆B: x2 + ( y – b )2 = a2 + b2 .
解得 x = , y = ,∴C(, )
△ABC含于正方形D内,即三顶点A,B,C含于区域D内时,
∴
这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形,
∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外.
(2)∵△ABC是边长为的正三角形,∴ S = ( a2 + b2 )
在(1)的条件下, 当S取最大值等价于六边形图形中的点( a, b )到原点的距离最大,
由六边形中P、Q、R相应的OP、OQ、OR的计算.
OP2 = OR2 = 12 + ( 2 – )2 = 8 – 4,OQ2 = 2( – 1)2 = 8 – 4.
∴ OP = OR =OQ ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 –), 或(– 1, – 1), 或( 2 –, 1 )时, Smax =2– 3.
科目:高中数学 来源:2010-2011学年江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型:解答题
在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10,共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A、选修4-1:几何证明选讲
如图,已知梯形ABCD为圆内接四边形,AD//BC,过C作该圆的切线,交AD的延长线于E,求证:ΔABC∽ΔEDC。
B、选修4-2:矩形与变换
已知 为矩阵属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及A2。
C、选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(α为参数),曲线D的参数方程为,(t为参数)。若曲线C、D有公共点,求实数m的取值范围。
D、选修4-5:不等式选讲
已知a,b都是正实数,且ab=2。求证:(1+2a)(1+b)≥9。
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