练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．
    （1）求{an}的通项公式；
    （2）记bn=
    an
    3n
    的前n项和为Tn，求证Tn＜
    5
    4
    ．
    分析：（1）利用S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，确定两个方程，即可求{an}的通项公式；
    （2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和，即可证得结论．
    解答：（1）解：设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4，
    又∵2a1，a2，a3+1成等比数列，∴a22=2（a2-d）（a2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），
    ∴an=a2+（n-2）d=3n-2；----------------------（6分）
    （2）证明：bn=
    an
    3n
    =（3n-2）•
    1
    3n
    ，
    ∴Tn=1×
    1
    3
    +4×
    1
    32
    +…+（3n-2）•
    1
    3n
    ，①
    ∴
    1
    3
    Tn=1×
    1
    32
    +4×
    1
    33
    +…+（3n-5）•
    1
    3n
    +（3n-2）•
    1
    3n+1
    ，②
    ①-②得，
    2
    3
    Tn=
    1
    3
    +3×
    1
    32
    +3×
    1
    33
    +…+3•
    1
    3n
    -（3n-2）•
    1
    3n+1
    =
    5
    6
    -
    1
    2
    •
    1
    3n-1
    -（3n-2）•
    1
    3n+1

    ∴Tn=
    5
    4
    -
    6n+5
    4
    ×
    1
    3n
    ＜
    5
    4
    ．-------------------------（12分）
    点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确求和是关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正项等差数列{an}的前20项和为100，则a5•a16的最大值是（　　）
    A、100B、75C、25D、50

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正项等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为（　　）
    A、75B、100C、50D、25

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知非零向量
    OA
    、
    OB
    、
    OC
    、
    OD
    满足：
    OA
    =α
    OB
    +β
    OC
    +γ
    OD
    (α，β，γ∈R)    ，B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
    ①若α=
    3
    2
    ，β=
    1
    2
    ，γ=-1    ，则A、B、C、D四点在同一平面上；
    ②当α＞0，β＞0，γ=
    		2
    时，若|
    OA
    |=
    		3
    ，|
    OB
    |=|
    OC
    |=|
    OD
    |=1    ，＜
    OB
    ，
    OC
    ＞=
    5π
    6
    ，＜
    OD
    ，
    OB
    ＞=＜
    OD
    ，
    OC
    ＞=
    π
    2
    ，则α+β的最大值为
    		6
    -
    		2
    ；
    ③已知正项等差数列an（n∈N*），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则
    1
    a3
    +
    4
    a2008
    的最小值为9；
    ④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，则A、B、C三点共线且A分
    BC
    所成的比λ一定为
    α
    β
    ．
    其中你认为正确的所有命题的序号是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，其中都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项．
    （I）证明：m+h=2k；
    （II）证明：Sm•Sh≤Sk2；
    （III）若
    		Sm
    、
    		Sk
    、
    		Sh
    也在等差数列，且a1=a，求数列的前n项和．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•成都一模）已知非零向量
    OA
    、
    OB
    、
    OC
    、
    OD
    满足：
    OA
    =α
    OB
    Z+β
    OC
    Z+γ
    OD
    Z（α，β，γ∈R），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
    ①若α=
    3
    2
    ，β=
    1
    2
    ，γ=-1，则A、B、C、D四点在同一平面上；
    ②若α=β=γ=1，|
    OB
    Z|+|
    OC
    |+|
    OD
    |=1，＜
    OB
    ，
    OD
    ＞=＜
    OC
    ，
    OD
    ＞=
    π
    2
    ，＜
    OB
    ，
    OC
    ＞=
    π
    3
    ，则|
    OA
    |=2；
    ③已知正项等差数列{an}（n∈N*Z），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则
    1
    a3
    +
    4
    a2008
    的最小值为10；
    ④若α=
    4
    3
    ，β=-
    1
    3
    Z，γ=0，则A、B、C三点共线且A分
    BC
    所成的比λ一定为-4
    其中你认为正确的所有命题的序号是
    ①②
    ①②
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案