Question

在棱长为α的正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁中，设M、N、E、F分别是棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中点．
（1）求证：E、F、B、D四点共面；
（2）求证：平面AMN∥平面EFDB；
（3）求平面AMN和平面BFED间的距离．

Answer 1

（1）证明：，而E、F分别是、的中点， ∴， ∴E、F、B、D四点共面．
（2）证明：连结AC交BD于O点，连结A′C′，交MN、EF于G、K， 连结AG、OK， ，， ∴， 又且， ∴，∴四边形AOKG为平行四边形 ，∴AG∥OK， ∴AG∥平面BEFD， 又， ∴MN∥平面BFED， ∴平面AMN∥平面BFED． （3）解：过G作GH⊥OK于H，则GH即为所求， ， ∴， 又， ∴， 又， ∴∽△GHK，∴， 又∵，∴， 又 ∵，， ∴， 所以，平面AMN与平面BFED之间距离为。