Question

5．已知实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≥0}\\{x+y-6≤0}\\{x-2y-2≤0}\end{array}\right.$，目标函数z=x+ay．
（1）当a=-2时，求目标函数z的取值范围；
（2）若使目标函数取得最小值的最优解有无数个，求$\frac{y}{x-a}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，z=x-2y，由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，平移直线进行求解即可．
（2）根据目标函数取得最小值的最优解有无数个，求出a=-1，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：（1）当a=-2时，z=x-2y，由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，过点C时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最大，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（4，2）．此时z=4-2×2=4-4=0，
当直线与x-2y-2=0重合时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最小，此时z最大，
此时z=2，即0≤z≤2．
（2）若a＞0，由题意知最优解应该在线段BC上取得，但此时取到的最大值不满足条件．
当a=0，不满足条件．
若a＜0，最优解应该在线段AC上取得，故直线x+ay=0与AC平行，
则k_AC=1=-$\frac{1}{a}$，得a=-1．
$\frac{y}{x-a}$=$\frac{y}{x+1}$的几何意义是区域内的点到点D（-1，0）的斜率，
由图象知当点与C（4，2）重合时，$\frac{y}{x+1}$取得最大值$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义利用平移法以及直线斜率公式，利用数形结合是解决本题的关键．