Question

已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，所以3a²=4b²，①
又点在椭圆C上，所以，②
由①②解之，得a²=4，b²=3．故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）当直线l有斜率时，设y=kx+m时，则由
消去y得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²﹣12=0，
△=64k²m²﹣4（3+4k²）（4m²﹣12）=48（3+4k²﹣m²）＞0，
③设A、B、P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），则：，
由于点P在椭圆C上，所以．从而，
化简得4m²=3+4k²，经检验满足③式．
又点O到直线l的距离为：．
当且仅当k=0时等号成立，当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而P点为（﹣2，0），（2，0），直线l为x=±1，
所以点O到直线l的距离为1，O到直线l的距离最小值为．