Question

15．已知函数f（x）=e^x-2ax-1．
（1）讨论函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在[0，2]上单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数f′（x），令f′（x）=0讨论方程的解即可；
（2）令[0，2]在f（x）的单调区间上即可解出．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2a，
令f′（x）=0得e^x=2a．
①若a≤0，方程无解，即f（x）无极值；
②若a＞0，x=ln2a．
当x＜ln2a时，f′（x）＜0，当x＞ln2a时，f′（x）＞0，
∴当x=ln2a时，f（x）取得极小值f（ln2a）=2a-2aln2a-1．
综上所述：当a≤0，f（x）无极值；
当a＞0时，f（x）有极小值2a-2aln2a-1．
（2）①当a≤0时，f′（x）=e^x-2a＞0，∴f（x）在R上单调递增，符合题意；
②当a＞0时，f（x）在（-∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增，
∵f（x）在[0，2]上单调，
∴2≤ln2a或ln2a≤0．
∴a≥$\frac{{e}^{2}}{2}$或0＜a≤$\frac{1}{2}$．
综上所述：实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{{e}^{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了利用导数与函数单调性，极值的关系，属于中档题．