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    已知直线l与椭圆C：
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1    交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=
    		6
    2
    ，其中O为坐标原点．
    （Ⅰ）证明x12+x22和y12+y22均为定值；
    （Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
    （Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
    		6
    2
    ？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22均为定值；
    （Ⅱ）由（I）可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值；（Ⅲ）假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
    		6
    2

    由（Ⅰ）得u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．
    解答：解：（Ⅰ）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
    所以x1=x2，y1=-y2，
    ∵P（x1，y1）在椭圆上，
    ∴
    x12
    3
    +
    y12
    2
    =1         ①
    又∵S△OPQ=
    		6
    2
    ，
    ∴|x1||y1|=
    		6
    2
          ②
    由①②得|x1|=
    		6
    2
    ，|y1|=1．此时x12+x22=3，y12+y22=2；
    2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m（m≠0），将其代入
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1    得
    （3k2+2）x2+6kmx+3（m2-2）=0，△=36k2m2-12（3k2+2）（m2-2）＞0
    即3k2+2＞m2，
    又x1+x2=-
    6km
    3k2+2
    ，x1•x2=
    3(m2- 2)
    3k2+2
    ，
    ∴|PQ|=
    		1+k2
    		(x1+x2)2-4x1x2
    =
    		1+k2
    2
    		6
    		3k2+2-m2
    3k2+2
    ，
    ∵点O到直线l的距离为d=
    |m|
    		1+k2
    ，
    ∴S△OPQ=
    1
    2
    		1+k2
    2
    		6
    		3k2+2-m2
    3k2+2
    •
    |m|
    		1+k2
    =
    		6
    		3k2+2-m2
    |m|
    3k2+2
    ，
    又S△OPQ=
    		6
    2
    ，
    整理得3k2+2=2m2，此时x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-
    6km
    3k2+2
    ）2-2
    3(m2- 2)
    3k2+2
    =3，
    y12+y22=
    2
    3
    （3-x12）+
    2
    3
    （3-x22）=4-
    2
    3
    （x12+x22）=2；
    综上所述x12+x22=3，y12+y22=2．结论成立．

    （Ⅱ）1°当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
    |OM|=|x1|=
    		6
    2
    ，|PQ|=2|y1|=2，
    因此|OM|•|PQ|=
    		6
    ．
    2°当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知 
    x1+x2
    2
    =-
    3k
    2m
    ，
    y1+y2
    2
    =k
    x1+x2
    2
    +m=
    -3k2+2m2
    2m
    =
    1
    m

    |OM|2=（
    x1+x2
    2
    ）2+（
    y1+y2
    2
    ）2=
    9k2
    4m2
    +
    1
    m2
    =
    6m2-2
    4m2
    =
    1
    2
    (3-
    1
    m2
    )    ，
    |PQ|2=（1+k2）
    24(3k2+2-m2)
    ( 2+3k2)2 
    =
    2(2m2-1)
    m2
    =2（2+
    1
    m2
    ），
    所以|OM|2|PQ|2=
    1
    2
    (3-
    1
    m2
    )    ×2×(2+
    1
    m2
    )    =（3-
    1
    m2
    ）（2+
    1
    m2
    ）

    ≤ (
    3-
    1
    m2
    + 2+
    1
    m2
    2
    )    2    =
    25
    4
    ．
    |OM|•|PQ|≤
    5
    2
    ．当且仅当3-
    1
    m2
    =2+
    1
    m2
    ，
    即m=±
    		2
    时，等号成立．
    综合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值为
    5
    2
    ；

    （Ⅲ）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
    		6
    2
    ，
    证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
    		6
    2

    由（Ⅰ）得
    u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2
    解得u2=x12=x22=
    3
    2
    ；v2=y12=y22=1．
    因此u，x1，x2只能从±
    		6
    2
    中选取，
    v，y1，y2只能从±1中选取，
    因此点D，E，G，只能在（±
    		6
    2
    ，±1）这四点中选取三个不同点，
    而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG=
    		6
    2
    矛盾．
    所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．
    点评：此题是个难题．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
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    		2
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    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）过点M（
    		6
    ，1），O为坐标原点．
    （1）求椭圆C的方程；
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    π
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    π
    2
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    科目：高中数学 来源：2011年山东省高考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知直线l与椭圆C：交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=，其中O为坐标原点．
    （Ⅰ）证明x12+x22和y12+y22均为定值；
    （Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
    （Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．

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