Question

已知z为负数，且（1+3i）z为纯虚数，|z|=

10

．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数ω满足|2ω-z|≤1，求|ω|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出复数z，对复数方程求出z，通过复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数通过复数的模求出复数z即可．（Ⅱ）设出复数ω，把复数z代入|2ω-z|≤1，求出复数满足方程，然后求|ω|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为（1+3i）z为纯虚数，所以设（1+3i）z=ai，（a∈R，a≠0）
则为纯虚数，z=

ai

1+3i

=

ai(1-3i)

(1+3i)(1-3i)

=

3a+ai

10

；
∵|z|=

10

．
所以

9a2+a2

10

=

10

，a=±10，
∴z=3+i或z=-3-i．
（Ⅱ）设ω=x+yi（x，y∈R），若z=3+i，则
|2ω-z|=|2x+2yi-3-i|=

(2x-3)2+(2y-1)2

≤1，
即（x-

3

2

）²+（y-

1

2

）²≤

1

4

，以(

3

2

，

1

2

)为圆心，

1

2

为半径的圆以及内部部分，
所求最大值就是圆心到原点的结论加上半径，
所以|ω|的最大值为

1+ 10

2

，
同理当z=-3-i时，|ω|的最大值为

1+ 10

2

．

点评：本题是中档题，考查复数的基本运算，复数的模的求法，复数满足的轨迹方程，考查转化思想，计算能力．