Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD=DD₁=4，AD=AB=2，E、F分别为BC、CD₁中点．
（I）求证：EF∥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅲ）求四棱锥F-BB₁D₁D的体积．

Answer 1

证明：
（I）连接BD₁，∵E、F分别为BC、CD₁中点；
∴EF∥BD₁，（2分）
又∵BD₁?平面BB₁D₁D，EF?平面BB₁D₁D
∴EF∥平面BB₁D₁D；（4分）（少一条件扣1分）
（Ⅱ）取CD中点M，连接BM，则DM=CM=2，
∵AB∥CD，AB⊥AD，
∴四边形ABMD是正方形，则DM=CM=BM=2，
∴BC⊥BD，（7分）（或由计算证明）
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有BC⊥BB₁，且BD∩BB₁=B，
∴BC⊥平面BB₁D₁D；（9分）
（Ⅲ）取BD₁中点N，连接FN，则FN∥BC，（10分）
由（Ⅱ）知BC⊥平面BB₁D₁D，∴FN⊥平面BB₁D₁D，
则FN是四棱锥F-BB₁D₁D的高，且
∵S_{四边形BB1D1D}=
∴（14分）
分析：（I）要证：EF∥平面BB₁D₁D，根据线面平行的判定定理可知：只需证EF∥BD₁即可．
（Ⅱ）要证：BC⊥平面BB₁D₁D；根据线面垂直的判定定理可知：只需证：BC⊥BD的BC⊥BB₁，即可．
（Ⅲ）要求四棱锥F-BB₁D₁D的体积．关键是求高，即找底面的垂线，由（Ⅱ）知BC⊥平面BB₁D₁D，∴FN⊥平面BB₁D₁D，则FN是四棱锥F-BB₁D₁D的高，再求得S_{四边形BB1D1D}，最后由体积公式求解．
点评：本题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，还考查了辅助线的作法和转化思想，属中档题．