Question

已知函数f（x）=cosωx（

3

sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期为π，求当-

π

6

≤x≤

π

3

时f（x）的值域
（2）若f（x）的图象的一条对称轴为x=

π

3

，求ω的值
（3）对任意m∈R函数y=f（x），x∈[m，m+π]图象与y=

3

2

有且仅有一个交点，求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角公式，将函数化简为f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，根据三角函数的周期公式可得ω=1，得到函数解析式，最后根据正弦函数的图象与性质，即可得到当-

π

6

≤x≤

π

3

时f（x）的值域．
（2）由正弦函数图象对称轴方程的公式，得x=

π

3

是2ωx+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）的一个解，结合0＜ω＜2，可得ω的值．
（3）根据题意，可得函数的周期为π，从而求得函数解析式为f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，再利用正弦函数单调区间的公式，解不等式即可得到y=f（x）的单调递增区间．

解答：解：f（x）=cosωx（

3

sinωx+cosωx）=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1+cos2ωx）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
（1）∵f（x）的周期为T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，函数解析式为f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∵-

π

6

≤x≤

π

3

，可得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴函数当x=

π

6

时，取最大值

3

2

；当x=-

π

6

时，取最小值0
因此，当-

π

6

≤x≤

π

3

时f（x）的值域为[0，

3

2

]．
（2）由题意，得x=

π

3

是2ωx+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）的一个解，
可得2ω•

π

3

+

π

6

=

π

2

+kπ，所以ω=

1

2

（1+3k）
∵k∈Z且0＜ω＜2，∴取k=0，得ω=

1

2

．
（3）∵对任意m∈R，函数在x∈[m，m+π]的图象与y=

3

2

有且仅有一个交点，而

3

2

恰好是函数的最大值
∴函数的周期T=π，得

2π

2ω

=π，ω=1，函数解析式为f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
令-

π

2

+2mπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2mπ，得-

π

3

+mπ≤x≤

π

6

+mπ，其中m是整数
∴y=f（x）的单调递增区间是[-

π

3

+mπ，

π

6

+mπ]，m∈Z

点评：本题将一个三角函数式化简，求它在闭区间上的单调区间与值域，并求对称轴方程，着重考查了和与差的三角函数公式、降次公式和辅助角公式，以及三角函数的值域求法等知识，属于基础题．