Question

如图为一简单组合体，其底面 ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）求四棱锥B-CEPD的体积．

Answer 1

分析：（1）先证明线面平行，从而可得面面平行，进而可线面平行；
（2）先证明平面PDCE⊥平面ABCD，从而可得BC⊥平面PDCE，进而可求四棱锥B-CEPD的体积．

解答：（1）证明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA----------（2分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC=C
∴平面BEC∥平面PDA-------（4分）
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA-------（6分）
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD
∴BC⊥平面PDCE----------（8分）
∵S梯形PDCE=

1

2

(PD+EC)•DC=

1

2

×3×2=3------（10分）
∴四棱锥B-CEPD的体积VB-CEPD=

1

3

S梯形PDCE•BC=

1

3

×3×2=2．----------（12分）

点评：本题考查面面平行、线面平行的判定与性质，考查四棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．