Question

24、f（x）是定义在（-∞，-5]∪[5，+∞）上的奇函数，且f（x）在[5，+∞）上单调递减，试判断f（x）在（-∞，-5]上的单调性，并用定义给予证明．

Answer 1

分析：由奇函数的性质，在对称区间上单调性相同，知f（x）在（-∞，-5]上是减函数，再用定义法证明，定义法证明单调性的步骤：任取区间上两个自变量，作差，整理成几个因子的成绩，判断差的符号，得出结论，证明本题时沿用此五步书写证明步骤．

解答：解：奇函数在对称的区间上单调性相同，
f（x）在[5，+∞）上单调递减，
故f（x）在（-∞，-5]上是减函数，
证明如下：
任取x₁＜x₂≤-5，则-x₁＞-x₂≥5．
因f（x）在[5，+∞]上单调递减，
所以f（-x₁）＜f（-x₂）
又函数是奇函数，故有-f（x₁）＜-f（x₂即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，-5]上单调减函数．

点评：本题考点奇偶性与单调性的综合，作为一个判断证明题，求解题时要注意做题的格式，先判断，再证明．本题中用定义法证明过程中获知f（x₁）＞f（x₂）的方法是由函数的性质变形得到的，此是本题用定义法证明时与一般题过程中稍有不同的地方，请从抽象函数的角度考虑一下不同的原因．