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    设g(x)=
    lnx，x＞0
    ex，x≤0
    则g(g(
    1
    2
    ))    =（　　）
    分析：直接把x=
    1
    2
    代入分段函数的在x＞0时的解析式，求出值后在代入符合条件的解析式计算即可．
    解答：解：由g(x)=
    lnx，x＞0
    ex，x≤0
    ，
    所以g(
    1
    2
    )=ln
    1
    2
    ＜0    ．
    则g(g(
    1
    2
    ))=g(ln
    1
    2
    )=eln
    1
    2
    =
    1
    2
    ．
    故选D．
    点评：本题考查了对数的运算性质，考查了分段函数的函数值的求法，是基础的运算题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：
    ①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
    ②f′（x）是偶函数；
    ③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
    （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
    （Ⅱ）设g(x)=lnx-
    mx
    ，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=lnx+2x
    （1）判断f（x）的单调性并用定义证明；
    （2）设g(x)=ln
    x+2x-2
    ，若对任意x1∈（0，1），存在x2∈（k，k+1）（k∈N），使f（x1）＜g（x2），求实数k的最大值．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年黑龙江哈尔滨市高三第三次模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知．

    （１）求的单调区间；

    （２）证明：当时，恒成立；

    （３）任取两个不相等的正数，且，若存在使成立，证明：．

    【解析】（1）g(x)=lnx+，=        （1’）

    当k0时，>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+），无减区间；

    当k>0时，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增区间（k,+）减区间为（0，k）（3’）

    (2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时，h(x),的变化情况如表

    x

    1

    (1,e)

    e

    (e,+)

     

    －

    0

    +

    h(x)

    e－2

    ↘

    0

    ↗

    所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    （5’）

    设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.

    (3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

    ∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

     

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；
    ③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
    （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
    （Ⅱ）设g(x)=lnx-
    m
    x
    ，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

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