Question

“5•12”汶川大地震是华人心中永远的痛！在灾后重建中拟在矩形区域ABCD内建一矩形（与原方位一样）的汶川人民纪念广场（如图），另外AEF内部有一废墟作为文物保护区不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，如何设计才能使广场面积最大？

Answer 1

分析：建立坐标系，确定线段EF的方程，从而可表达出矩形PQCR的面积，利用配方法求出面积的最大值，从而问题得解．

解答：解：建立如图所示的直角坐标系，则E（30，0），F（0，20），
∴线段EF的方程是

x

30

+

y

20

=1（0≤x≤30）
在线段EF上取点P（m，n），作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，
设矩形PQCR的面积为S，则S=|PQ|•|PR|=（100-m）（80-n）
又∵

m

30

+

n

20

=1（0≤m≤30），∴n=20（1-

m

30

），
∴S=（100-m）（80-20+

2m

3

）=-

2

3

（m-5）²+

18050

3

（0≤m≤30）
∴当m=5m时，S有最大值，此时

|EP|

|PF|

=

30-5

5

=

5

1

．
故当矩形广场的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5：1时，广场的面积最大．

点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，考查配方法求函数的最值，解题的关键是正确表达出矩形PQCR的面积．