Question

17．已知函数f（x）=x³-2x²+x，将函数y=|f（x）|的图象沿着x轴作对称变换得到函数y=g（x）的图象，函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}g（x），x＜1\\ lnx，x≥1\end{array}$，若关于x的不等式h（x）-kx≤0在R上恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{e^2}，1}]$
• B． $[{\frac{2}{e}，1}]$
• C． $[{\frac{1}{e}，1}]$
• D． [1，e]

Answer 1

分析 由题意画出函数h（x）与y=kx的图象，再由导数求出直线y=kx与y=h（x）相切的切线斜率得答案．

解答 解：由f（x）=x³-2x²+x，得f′（x）=3x²-4x+1，
由f′（x）=0，得x=$\frac{1}{3}$或x=1，
当x∈（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（$\frac{1}{3}，1$）时，f（x）为减函数，
不等式h（x）-kx≤0在R上恒成立，即h（x）≤kx在R上恒成立，
作出函数y=h（x）与y=kx的图象如图：


设y=kx与y=lnx相切于（x₀，lnx₀），$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}$，
则切线方程为y-$ln{x}_{0}=\frac{1}{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，代入（0，0）得：-lnx₀=-1，得x₀=e，
∴k=$\frac{1}{e}$；
由f（x）=x³-2x²+x，得f′（x）=3x²-4x+1，
可得f′（0）=1，即y=h（x）在原点处的切线的斜率为1．
∴实数k的取值范围是[$\frac{1}{e}，1$]．
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，属中档题．