Question

某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：
①f（x）=p•q^x；
②f（x）=px²+qx+1；
③f（x）=x（x-q）²+p．（以上三式中p、q均为常数，且q＞1）
（I）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（Ⅱ）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数定义域是[0，5]．其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，…，以此类推）；
（Ⅲ）为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用价格呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=x（x-q）²+p为其模拟函数；
（II）由题中条件：f（0）=4，f（2）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式；
（III）确定函数解析式，利用导数小于0，即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌．
解答：解：（I）因为f（x）=pq^x是单调函数，f（x）=px²+qx+1，只有两个单调区间，不符合题设中的价格变化规律
在f（x）=x（x-q）²+p中，f′（x）=3x²-4qx+q²，
令f′（x）=0，得x=q，x=，即f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，符合题设中的价格变化规律，所以应选f（x）=x（x-q）²+p为价格模拟函数；
（II）由f（0）=4，f（2）=6，得，∴p=4，q=3
（III）f（x）=x³-6x²+9x+4（0≤x≤5，且x∈Z）．
由f′（x）=3x²-12x+9≤0得：1≤x≤3，
由题意可预测该果品在9、10、11月份内价格下跌．
点评：本题考查函数模型的确定，考查函数解析式，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．