Question

为了解某校高二学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高二学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为B，视力在4.6到5.0之间的学生数为F．
（1）求a，b的值
（2）设m、n表示参加抽查的某两位同学的视力，且已知m，n∈[4.4，4.5）∪[5.1，5.2]，求事件“|m-n|＞0.1”的概率．

Answer 1

分析：（1）先根据直方图求出前2组的频数，根据前4组成等比数列求出第3和第4组的人数，从而求出后6组的人数，根据直方图可知4.6～4.7间的频数最大，即可求出频率a，根据等差数列的性质可求出公差d，从而求出在4.6到5.0之间的学生数为b．
（2）样本视力在[4.4，4.5）的有3人；在[5.1，5.2）的有7人，先求从这10人中任取2人的基本事件数，再求复合条件的基本事件数，利用古典概型求得概率．

解答：解：（1）由频率分布直方图知组矩为0.1，
4.3～4.4间的频数为100×0.1×0.1=1．
4.4～4.5间的频数为100×0.1×0.3=3．
又前4组的频数成等比数列，
∴公比为3．
前4组的频数分别为：1、3、9、27，
根据后6组频数成等差数列，且共有100-13=87人．
从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×3³=27，
∴B=0.27，
设公差为d，则6×27+15d=87．
∴d=-5，从而F=27+22+17+12=78，
（2）样本视力在[4.4，4.5）的有3人；
在[5.1，5.2）的有7人．
从这10中任取2人的基本事件有45个；
设事件A为：抽取两人视力差大于0.1的事件，事件A共有3×7=21个．
根据古典概型的概率，P（A）=

21

45

=

7

15

．
故事件“|m-n|＞0.1”的概率是

7

15

．

点评：本题考查了频率分布直方图及应用，考查等差数列、等比数列，考查了古典概型的概率计算．综合性强．