Question

（天津卷文21）设函数，其中．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

Answer 1

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）解：．

当时，．

令，解得，，．

当变化时，，的变化情况如下表：

		0				2
	－	0	＋	0	－	0	＋
	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须成立，即有．

解些不等式，得．这时，是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．

（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．

所以，因此满足条件的的取值范围是．