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 长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面.该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地,测量可知边界AB = AD = 4万米,BC = 6万米,CD = 2万米.

(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值;

(2)因地理条件的限制,边界AD、DC不能变更,而边界AB、BC可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧上设计一点P;使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 【解析】(1)因为四边形ABCD内接于圆,所以∠ABC    +∠ADC = 180°,连接AC,由余弦定理:

AC2 = 42 + 62 – 2×4×6×cos∠ABC = 42 + 22 – 2×2×4 cos∠ADC

所以cos∠ABC =,∵∠ABC∈(0,),故∠ABC = 60°.

S四边形ABCD = ×4×6×sin60°+×2×4×sin120°= 8(万平方米).………………4分

在△ABC中,由余弦定理:

AC2 = AB2 + BC 2– 2AB·BC·cos∠ABC

   = 16 + 36 – 2×4×6×

   AC = .…………………………6分

由正弦定理

(万米).………………8分

(2)∵S四边形APCD = SADC + SAPC

SADC = AD·CD·sin120°= 2

AP = xCP = y

SAPC = .……………………10分

又由余弦定理AC2 = x2 + y2 – 2xy cos60°

= x2 + y2xy

= 28.

x2 + y2xy≥2xyxy = xy

xy≤28     当且仅当x = y时取等号……………………12分

S四边形APCD = 2+

∴最大面积为9万平方米.…………………………13分.

 

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(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值;
(2)因地理条件的限制,边界AD、DC不能变更,而边界AB、BC可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧ABC上设计一点P;使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求最大值.

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(2)因地理条件的限制,边界AD、DC不能变更,而边界AB、BC可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧ABC上设计一点P;使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求最大值.

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