Question

16．如图，四面体ABCD中，各棱相等，M是CD的中点，则直线BM与平面ABC所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 过A作AO⊥平面BCD，交BM于O，以O为原点，过O在平面BCD内平行于DC的直线为x轴，OM为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：过A作AO⊥平面BCD，交BM于O，设AB=2，
∵四面体ABCD中，各棱相等，M是CD的中点，
∴OA、OD、OM两两垂直，$OB=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
OM=$\frac{1}{3}BM=\frac{1}{3}\sqrt{4-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，AO=$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
以O为原点，过O在平面BCD内平行于DC的直线为x轴，OM为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），M（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），A（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），C（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
$\overrightarrow{BM}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$，1），
设直线BM与平面ABC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BM}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{3}×\sqrt{9}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直线BM与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．