Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1，若对任意x₁、x₂恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，（x∈（0，+∞））．对a分类讨论：当a≥0时，当a≤-1时，当-1＜a＜0时，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）不妨设0＜x₁≤x₂，对任意x₁、x₂恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|?f（x₁）-f（x₂）≥4（x₂-x₁），
?f（x₁）+4x₁≥f（x₂）+4x₂，令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=f′（x）+4=

a+1

x

+2ax+4，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，即

a+1

x

+2ax+4≤0，分离参数即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，（x∈（0，+∞））．
当a≥0时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递增．
当a≤-1时，f′（x）＜0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递减．
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

．
当x∈(0，

- a+1 2a

)时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈(0，

- a+1 2a

)单调递增．
当x∈(

- a+1 2a

，+∞)时，f′（x）＜0，函数f（x）在x∈(

- a+1 2a

，+∞)单调递减．
（2）不妨设0＜x₁≤x₂，对任意x₁、x₂恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|
?f（x₁）-f（x₂）≥4（x₂-x₁），
?f（x₁）+4x₁≥f（x₂）+4x₂，（*）
令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=f′（x）+4=

a+1

x

+2ax+4，
（*）等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，即

a+1

x

+2ax+4≤0，
从而a≤

-4x-1

2x2+1

=

(2x-1)2

2x2+1

-2≤-2，
∴a的取值范围是（-∞，-2]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、分类讨论的思想方法，考查了分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．