Question

下列结论：
①如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直；
②定义运算

.

a c b d

.

=ad-bc，复数z满足

.

z i 1 i

.

=1+i，则复数z的模为

5

；
③向量

a

，有|

a

|²=

a

²；类比复数z，有|z|²=z²；
④满足条件|z+i|+|z-i|=2的复数z在复平面上对应点的轨迹是椭圆．
真命题的序号是

②

．

Answer 1

分析：①通过举直线不在平面内的反例说明其不正确；
②直接利用定义列式求z，则z的模可求；
③通过举反例说明其不正确；
④由-i和i对应点的长度是2，说明满足条件|z+i|+|z-i|=2的复数z在复平面上对应点的轨迹是两复数连接的线段．

解答：解：命题①中如果直线不在平面内，虽然满足和一个平面的一条斜线垂直，它和这条斜线在这个平面内的射影不一定垂直；
命题②由定义运算可知，若

.

z i 1 i

.

=1+i，即z•i-i=1+i，∴z=

1+2i

i

=

-i(1+2i)

-i2

=2-i，∴|z|=

5

；
命题③，如z=i，则|z|²=1，z²=-1，∴命题③不正确；
命题④，满足条件|z+i|+|z-i|=2的复数z在复平面上对应点的轨迹是一条线段．
∴真命题只有②．
故答案为②．

点评：本题考查了命题的真假判断，考查了空间直线与直线的位置关系，考查了类比推理及复数的模，是基础题．