Question

19．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2π）=f（x），则f（π）+f（2π）+f（3π）+…+f（2012π）=0．

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期是2π，利用函数的周期性和奇偶性进行求解即可．

解答 解：∵f（x+2π）=f（x），
∴函数f（x）是周期为2π的周期函数，
当x=-π时，f（-π+2π）=f（-π），
∴f（π）=f（-π），
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（π）=f（-π）=-f（π），
即f（π）=0，且f（0）=0，
则f（π）=f（3π）=…=f（2011π）=0，
f（2π）=f（4π）=…=f（2012π）=0，
即f（π）+f（2π）+f（3π）+…+f（2012π）=0，
故答案为：0．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性，利用函数的周期性和奇偶性的关系将条件进行转化是解决本题的关键．