Question

把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：
第一行有1个正整数，第二行有2个正整数，…，第i行共有2^i-1个正整数，设a_ij（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数（如a₃₂=5，a₄₄=11）．
（Ⅰ）求数表中第6行第5个数a₆₅；
（Ⅱ）若a_ij=300，求i，j的值；
（Ⅲ）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N*），求A_n．

Answer 1

分析：（I）根据已知条件可知每行的正整数的个数是等比数列，据此可先算出前5行的数分别为1，2，4，8，16总共31个，从而得到a₆₅=36
（II）观察已知可得每行的第一个数是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而得a_i1=2^i-1，每列的数又构成了以1为公差的等差数列，所以a_ij=2^i-1+j-1，根据该通项判断300的位置
（III）利用（II）可得a_nn=2^n-1+n-1，该书列是等差数列与等比数列的和构成的，用分组求和

解答：解：（I）由于i第行有2^i-1个数，前5行共有1+2+4+8+16=31个数
所以第6行的第5个数是正整数的第36个数，所以a₆₅=36
（II）由于每行的第一个数分别为1，2，4，8，…构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
每行又构成以1为公差，以2^i-1为首项的等差数列
所以第i行的第一个数a_i1=2^i-1，a_ij=2^i-1+j-1
而a₉₁=2⁸=256
 所以300=a_9j=256+j-1，解得j=45
300应在第9行第45列，即i=9，j=45
（III）由（II）可得a_nn=2^n-1+n-1
所以A_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn
=（2⁰+0）+（2¹+1）+（2²+2）+…+（2^n-1+n-1）
=（2⁰+2¹+…+2^n-1）+（0+1+2+…+n-1）
=

1-2n

1-2

+

1+n-1

2

×(n-1)=2n+

n(n-1)

2

-1

点评：本题以表格的形式给出正整数的排序方式，其关键是由表中的排序观察总结出每行的第一个数等比的规律及每行内的数成等差的规律，从而得出任意一个数的通项公式，结合通项的特点，又考查了分组求和的方法，从而培养学生的观察、发现、总结规律的能力，综合运用公式的能力．