Question

设平面向量＝(，－)，＝(，)，若存在不同时为0的两个实数s、t及实数k＞0，使＝＋(t²－k)，＝－s＋t，且⊥．

(1)求函数关系式s＝f(t)；

(2)若函数s＝f(t)在[1，＋∞)是单调函数，求证：0＜k≤3．

附加题：

(3)设x₀≥1，f(x₀)≥1，且满足f[f(x₀)]＝x₀，求证f(x₀)＝x₀．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵＝(，－)，＝(，)． 　　∴||＝||＝1，且·＝0． 　　又⊥，∴·＝0，即[＋(t2－k)]·[s＋t]＝0 　　即－s||2＋(t2－k)t||2＋(t－st2＋sk)·＝－s＋(t2－k)t＝0，即s＝t3－kt 　　(2)∵f′(t)＝3t2－k f(t)是单调函数 　　∴若f(t)是增函数，则f′(t)≥0，恒有3t2≥k，而t∈[1，＋∞]，∴0＜k≤3 　　若f(t)是减函数，则f′(t)≤0，恒有3t2≤k 　　而t∈[1，＋∞]，这样的k不存在，故0＜k≤3 　　(3)设f(x0)＝m，由f[f(x0)]＝x0，得f(m)＝x0 　　于是两式相减，有(x03－m3)－k(x0－m)＝m－x0 　　∴(x0－m)(x02＋x0m＋m2)(x0－m)(1－k)＝0 　　∴(x0－m)(x02＋m2＋x0m＋1－k)＝0 　　∵x0≥1，m＝f(x0)≥1∴x02＋m2＋x0m＋1－k≥4－k 　　而0＜k≤3∴x02＋m2＋x0m＋1－k＞0，x0＝m故f(x0)＝x0