Question

设二次函数同时满足下列三个条件．
（1）对称轴为x=-2；
（2）最小值为-9；
（3）二次函数图象与坐标轴有三个交点，且横坐标的积为-5，求二次函数的解析式．

Answer 1

分析：由二次函数的性质推出，函数在x=-2时取得最小值-9，可设解析式为：y=a（x+2）²-9，又二次函数图象与坐标轴有三个交点，且横坐标的积为-5，可求出a，所以可求出解析式．

解答：解：∵二次函数同时满足（1）对称轴为x=-2；（2）最小值为-9；
所以二次函数的顶点为（-2，-9），
可设解析式为：y=a（x+2）²-9，a＞0．
又二次函数图象与坐标轴有三个交点，且横坐标的积为-5，
∴0=a（x+2）²-9，
即ax²+4ax+4a²-9=0，x₁+x₂=x₁•x₂=

4a2-9

a

=-5，解得a=

9

4

，a=-1（舍去）
当a=

9

4

，满足二次函数图象与坐标轴有三个交点．
∴函数的解析式为：y=

9

4

（x+2）²-9．

点评：本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，难度一般，关键算出a的值．