Question

班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（I）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少名才符合抽样要求？
（II）随机抽出8名，他们的数学、物理分数对应如下表：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分数y	72	77	80	84	88	90	93	95

（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一名同学，他的数学和物理分数均为优秀的概率是多少？
（ii）根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，说明理由．
参考公式：相关系数r=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2 n i=1 (yi- . y )2

；
回归直线的方程是：

?

y

=bx+a，其中b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

，

?

y

i是与x_i对应的回归估计值．
参考数据：

.

x

=77.5，

.

y

=84.875，

8

i=1

(xi-

.

x

)2≈1050，

8

i=1

(yi-

.

y

)2≈457，

8

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)≈688，

1050

≈32.4，

457

≈21.4，

550

≈23.5．

Answer 1

分析：（I）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，做出女生和男生在总人数中所占的比例，用比例乘以要抽取的样本容量，得到结果．
（II）（i）这是一个古典概率，由表中可以看出，所选的8名同学中，数学和物理分数均为优秀的有3人，根据等可能事件的概率公式得到结果．
（ii）首先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和x，y的平均数代入公式，求出a的值，写出线性回归方程，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）应选女生25×

8

40

=5名，男生15×

8

40

=3名…（2分）
（Ⅱ） （ i）由表中可以看出，所选的8名同学中，数学和物理分数均为优秀的有3人，故所求概率是

3

8

．…（7分）
（ ii）变量y与x的相关系数是r≈

688

32.4×21.4

≈0.99．
可以看出，物理与数学成绩高度正相关．…（10分）
设y与x的线性回归方程是

?

y

=bx+a，
根据所给数据可以计算出b≈

688

1050

≈0.66，a=84.875-0.66×77.5≈33.73，
所以y与x的线性回归方程是

?

y

=0.66x+33.73．…（12分）

点评：本题考查线性回归分析的初步应用，考查分层抽样，考查条件概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用数学知识解决实际问题的能力，是一个比较好的综合题目．