Question

求以椭圆

x2

64

+

y2

16

=1的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为

5π

6

的双曲线方程．

Answer 1

分析：先求出椭圆的顶点找到双曲线中的c，再利用渐近线的倾斜角为

5π

6

的，求出a和b的关系进而求出双曲线C的方程．

解答：解：椭圆的顶点坐标为（±8，0）、（0，±4）．
∵双曲线渐近线方程为x±

3

y=0，
则可设双曲线方程为x²-3y²=k（k≠0），
即

x2

k

-

y2

k 3

=1．
若以（±8，0）为焦点，则k+

k

3

=64，得k=48，双曲线方程为

x2

48

-

y2

16

=1；
若以（0，±4）为焦点，则-

k

3

-k=16，得k=-12，双曲线方程为

y2

4

-

x2

12

=1．

点评：本题考查双曲线的离心率的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用及分类讨论．