Question

（理科）已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，t∈R．
（1）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

Answer 1

（1）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，得x₁=-t或．
1°当t＞0时，f'（x）＞0的解集为
∴f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为．
2°当t＜0时，f'（x）＜0的解集为
∴f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为．
（2）证明：由（1）可知，当t＞0时，f（x）在内递减，内单调递增．
1°当，即t≥2时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3＜0
∴f（x）在（0，1）内有零点．
2°当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在内递减，在内单调递增．
若＜0，f（1）=-6x²+4t+3≥-6t+4t+3=3-2t＞0
∴f（x）在内存在零点．
若＜0，f（0）=t-1＞0
∴f（x）在内存在零点．
∴对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
分析：（1）由f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，得x₁=-t或．分类讨论：当t＞0时，f'（x）＞0的解集为；当t＜0时，f'（x）＜0的解集为，故可求f（x）的单调增区间与单调减区间；（2）由（1）可知，当t＞0时，f（x）在内递减，内单调递增．进而分类讨论：当，即t≥2时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在内递减，在内单调递增．利用零点存在定理可证对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究函数的单调区间，考查函数的零点，正确分类是解题的关键．