Question

已知正四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，高为．M为线段PC的中点．
（Ⅰ） 求证：PA∥平面MDB；
（Ⅱ） N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接MO，可得MO是△PAC的中位线，再根据线面平行的判定定理可得结论．
（2）令NC∩MO=Q，先证明PC⊥平面BMD，再根据三角形的中位线定理求出MQ的长，可得∠MQC是直线NC与平面BMD所成的角，在Rt△CMQ中求出即可．
解答：证明：（1）如图所示，连接AC交BD于O，连接MO．
在△PAC中，OM为中位线，∴OM∥PA．
∴
∴PA∥平面MDB．
（2）令NC∩MO=Q．连接PO．
∵此四棱锥P-ABCD是正四棱锥，∴PO⊥底面ABCD．
在Rt△AOP中，=2．
同理PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA=2．
∵M是PC中点，∴在△PDC中，DM⊥PC．
同理，在△PBC中，BM⊥PC．
在平面BMD中，BM∩DM=M．
∴PC⊥平面MDB．
∴∠CQM为CN与平面MBD所成角的平面角．
∵M是线段PC的中点，∴MC=1．
由（1）可知：PA∥平面BMD，平面PAC∩平面BMD=OM．
∴PA∥MO，
又∵PM=MC，∴OM是△PAC的中位线，∴MQ=PN=．
在Rt△CMQ中，tan∠CQM==2．
CN与平面MBD所成角的正切值是2．
点评：掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理、线面角是解题的关键．利用三角形的中位线定理是证明线线平行常用的方法之一．