Question

（2011•延庆县一模）已知函数 f(x)=ax(x-2)2-a+1

，&(x∈R)

．
（Ⅰ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有极大值

14

9

，求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数得：f′（x）=a（x-2）²+2ax（x-2）=a（3x-2）（x-2），f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0得单调增区间，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0得单调减区间，需对a进行讨论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f(

2

3

)=

14

9

；当a＜0时，f(2)=

14

9

，故可得解．

解答：解：（Ⅰ）求导函数得：f′（x）=a（x-2）²+2ax（x-2）=a（3x-2）（x-2）
当a＞0时，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0，
∴函数的单调增区间为(-∞，

2

3

)，(2，+∞)，
f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0，
∴函数的单调减区间为(

2

3

，2)
当a＜0时，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0，
∴函数的单调增区间为(

2

3

，2)，
f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0，
∴函数的单调减区间为(-∞，

2

3

)，(2，+∞)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，函数在x=

2

3

时，取得极大值，所以f(

2

3

)=

14

9

，
∴

2

3

a×

16

9

-a+1=

14

9

，
∴a=3
当a＜0时，函数在x=2时，取得极大值，
所以f(2)=

14

9

，
∴-a+1=

14

9

，
∴a=-

5

9

点评：本题以函数为载体，考查函数在某点取得极值的条件、考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，属于基础题．