分析:(Ⅰ)求导函数得:f′(x)=a(x-2)
2+2ax(x-2)=a(3x-2)(x-2),f′(x)=a(3x-2)(x-2)>0得单调增区间,f′(x)=a(3x-2)(x-2)<0得单调减区间,需对a进行讨论;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,
f()=;当a<0时,
f(2)=,故可得解.
解答:解:(Ⅰ)求导函数得:f′(x)=a(x-2)
2+2ax(x-2)=a(3x-2)(x-2)
当a>0时,f′(x)=a(3x-2)(x-2)>0,
∴函数的单调增区间为
(-∞,),(2,+∞),
f′(x)=a(3x-2)(x-2)<0,
∴函数的单调减区间为
(,2)当a<0时,f′(x)=a(3x-2)(x-2)>0,
∴函数的单调增区间为
(,2),
f′(x)=a(3x-2)(x-2)<0,
∴函数的单调减区间为
(-∞,),(2,+∞),
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,函数在x=
时,取得极大值,所以
f()=,
∴
a×-a+1=,
∴a=3
当a<0时,函数在x=2时,取得极大值,
所以
f(2)=,
∴
-a+1=,
∴a=
- 点评:本题以函数为载体,考查函数在某点取得极值的条件、考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间,属于基础题.