Question

设函数fn(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…+(-1)n

xn

n

，n∈N*．
（Ⅰ）试确定f₃（x）和f₄（x）的单调区间及相应区间上的单调性；
（Ⅱ）说明方程f₄（x）=0是否有解，并且对正整数n，给出关于x的方程f_n（x）=0的解的一个一般结论，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）写出要用的两个函数的解析式，对两个函数求道，写出两个函数的单调区间，第一个函数在整个定义域上是一个减函数，第二个函数有增有减．
（II）根据上一问作出函数的最小值，猜想证明函数在即偶性不同时，函数对应的方程的解的情况

解答：解：（Ⅰ）f3(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

，
f₃^′（x）=-1+x-x²=-（x²-x+1）＜0，
y=f₃（x）为R上的减函数（1分）
f3(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

，
f₄^′（x）=-1+x-x²+x³=（x-1）（x²+1）

x	（-∞，1）	（1，+∞）
f4′（x）	-	+
f4（x）	减	增

y=f₄（x）在（-∞，1）上减，在（1，+∞）上增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f4(x)min=f4(1)=1-1+

1

2

-

1

3

+

1

4

=

5

12

＞0，
所以f₄（x）=0无解（6分）
猜想n为偶数时，f_n（x）=0无解（8分）
证明：当n为偶数时，设n=2k（k∈N^*）则f_n^′（x）=-1+x-x²+x³-x⁴++（-1）ⁿx^n-1=（x-1）（1+x²+x⁴++x^2k-2）
在（-∞，1）上减，在（1，+∞）上增，
fn(x)min=fn(1)=1-1+

1

2

-

1

3

++(-1)2k(

1

2k

)=(

1

2

-

1

3

)+(

1

4

-

1

5

)++(

1

2k-2

-

1

2k-1

)+

1

2k

＞

1

2k

＞0
所以n为偶数时f_n（x）=0无解．
猜想n为奇数时，f_n（x）=0有唯一解
证明：设n=2k+1（k∈N^*）
fn′(x)=-1+x-x2+x3-x4++(-1)nxn-1=

-1×[1-(-x)n]

1-(-x)

=-

1+x2k+1

1+x

＜0；
所以y=f_n（x）为减函数，
而f（1）＞0，f(n)=(1-n)+n2(

1

2

-

n

3

)++nn-1(

1

n-1

-

n

n

)＜0，
所以方程有唯一解．

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，本题解题的关键是应用函数的导函数求解，注意函数和方程之间的关系．