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公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知
(1)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn
(2)记,若自然数η1,η2,…,ηk,…满足1≤η1<η2<…<ηk<…,并且成等比数列,其中η1=1,η2=3,求ηk(用k表示);
(3)记,试问:在数列{cn}中是否存在三项cr,cs,ct(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵
∴d=2
所以

(2)由题意,bn=2n,首项b1=2,
又数列的公比


∴ηk=3 k﹣1
(3)易知,假设存在三项cr,cs,ct成等比数列,则
cs2=crct

整理得
①当2s﹣r﹣t≠0时,
∵r,s,t∈N*,
是有理数,
这与为无理数矛盾
②当2s﹣r﹣t=0时,则rt+r+t﹣s2﹣2s=0,从而

解得r=t,这与r<t矛盾.
综上所述,不存在满足题意的三项cr,cs,ct
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科目:高中数学 来源: 题型:

(Ⅰ)已知函数f(x)=
x
x+1
.数列{an}满足:an>0,a1=1,且
an+1
=f(
an
)
,记数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]
.求数列{bn}的通项公式;并判断b4+b6是否仍为数列{bn}中的项?若是,请证明;否则,说明理由.
(Ⅱ)设{cn}为首项是c1,公差d≠0的等差数列,求证:“数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1,使c1=md”.

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科目:高中数学 来源: 题型:

公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+
2
S3=12+3
2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn
(Ⅱ)记bn=an-
2
,若自然数η1,η2,…,ηk,…满足1≤η1<η2<…<ηk<…,并且bη1bη2,…,bη_,…成等比数列,其中η1=1,η2=3,求ηk(用k表示);
(Ⅲ)记cn=
Sn
n
,试问:在数列{cn}中是否存在三项cr,cs,ct(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.

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5、由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an,…组成一个数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

若{an}是公差d≠0的等差数列,通项为an,{bn}是公比q≠1的等比数列,已知a1=b1=1,且a2=b2,a6=b3
(1)求d和q.
(2)是否存在常数a,b,使对一切n∈N*都有an=logabn+b成立,若存在求之,若不存在说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+
2
,S3=12+3
2

(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn
(2)记bn=an-
2
,若自然数n1,n2,…,nk,…满足1≤n1<n2<…<nk<…,并且b n1,b n2,…,b nk,…成等比数列,其中n1=1,n2=3,求nk(用k表示);
(3)试问:在数列{an}中是否存在三项ar,as,at(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.

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