Question

（1）若曲线C是双曲线，求k的取值范围；

（2）若曲线C是焦点在x轴上的双曲线且离心率为，求此双曲线的方程；

（3）对于满足条件（2）的双曲线，是否存在过点B（1，1）的直线l，使直线l与双曲线交于M，N两点且B是线段MN的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:（1）当k=-1、k=0或k=时，曲线C表示直线.

当k≠-1且k≠0且k≠时，曲线C可化为=1.①

方程①表示双曲线的充要条件是＜0,解之得0＜k＜.

（2）∵曲线C是焦点在x轴上的双曲线且离心率为，∴a²=,b²=,从而有e²==3,

∴k=1,

故曲线C的方程为x²-y²=1.

（3）假设存在直线l，设M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂)，则有

即x₁²-x₂²-(y₁²-y₁²)=0,

∴2(x₁-x₂)(x₁+x₂)=(y₁-y₂)(y₁+y₂).

∵B是线段MN的中点，

∴x₁+x₂=2,y₁+y₂=2,

∴直线l的斜率k==2,

即直线l:y=2x-1,

又直线l与双曲线交于MN两点，由得2x²-4x+3=0,

此时Δ=16-4×2×3=-8＜0,方程无实数根.即直线l与双曲线x²-y²=1无交点.

故满足条件（3）的直线l不存在.