Question

在三棱锥中，，.

   （Ⅰ）证明：⊥；

   （Ⅱ）求二面角A-BC-S的大小；

   （Ⅲ）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.

Answer 1

解：（Ⅰ）且平面.     

为在平面内的射影.                                               

又⊥, ∴⊥.  

（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥，

∴为所求二面角的平面角.    

又∵==4,

∴=4 .  ∵=2 , ∴=60°.

即二面角大小为60°.

（Ⅲ）过作于D，连结,            

由（Ⅱ）得平面平面,又平面,

∴平面平面,且平面平面,

∴平面.

∴为在平面内的射影.

.

在中，，

在中，，.

∴ =.           

所以直线与平面所成角的大小为.       

解法二：解：（Ⅰ）由已知，

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.     

则 ,.    

则，.

.     

.      

   （Ⅱ），平面.

是平面的法向量.  

设侧面的法向量为,

,.

,

      .令则.

则得平面的一个法向量. 

.       

即二面角大小为60°.  

（Ⅲ）由（II）可知是平面的一个法向量.  

又， .                  

所以直线与平面所成角为。