Question

过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据条件求出直线l的方程，联立直线方程与渐近线方程分别求出点B，C的横坐标，结合条件得出C为AB的中点求出b，a间的关系，进而求出双曲线的离心率．
解答：解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）
所以所作斜率为1的直线l：y=x-a，
若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立其中一条渐近线y=-x，则 ，
解得x₂=①；
同理联立 ，
解得x₁=②；
又因为|AB|=2|AC|，
故C是AB的中点，
∴x₂=⇒2x₂=x₁+a，
把①②代入整理得：b=3a，
∴e===．
故答案为：．
点评：本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意由|AC|=|BC|得到C是A，B的中点这以结论的运用．