Question

20．如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1，现有以下结论：①B，D两点间的距离为$\sqrt{3}$；②AD是该圆的一条直径；③CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；④四边形ABCD的面积S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．其中正确结论的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，由余弦定理求出BD=$\sqrt{3}$；在②中，由AB⊥BD，知AD是该圆的一条直径；在③中，推导出CD=1；在④中，由四边形是梯形，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出四边形ABCD的面积S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：在①中，∵∠BCD=120°，∴∠A=60°，
∵AD=2，AB=1，∴BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，故①正确；
在②中，∵AB⊥BD，∴AD是该圆的一条直径，故②正确；
在③中，3=1+CD2-2CD•（-$\frac{1}{2}$），∴CD2+CD-2=0，∴CD=1，故③不正确；
在④中，由③可得四边形是梯形，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，四边形ABCD的面积S=$\frac{1+2}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，故④正确．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、余弦定理、梯形性质的合理运用．