Question

设（ax+2b）⁹与（bx+2a）⁸展开式中x³项的系数相等（a＞0，b≠0）
（1）求

b3+3

a

的取值范围；
（2）当a=

3

时，求(bx+2a)8展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析：利用（ax+2b）⁹与（bx+2a）⁸展开式中x³项的系数相等，求出b与a的关系，
（1）通过基本不等式求出表达式的范围即可．
（2）通过a求出b，利用二项展开式的通项公式求出展开式最大项即可．

解答：解：（ax+2b）⁹展开式中x³项的系数为：

C

6 9

a3•(2b)6=84×24a3b6．
（bx+2a）⁸展开式中x³项的系数为：

C

5 8

b3(2a)5=56×25a5b3．
则：84×2⁴a³b⁶=56×2⁵a⁵b³，即b3=

1

3

a2．
（1）

b3+3

a

=

1 3 a2+3

a

=

a

3

+

3

a

≥2，当且仅当a=3时取等号．
∴

b3+3

a

的取值范围[2，+∞）．
（2）a=

3

时，b=1，（bx+2a）⁸展开式中二项式系数最大的项是第五项，
即：T₅=

C

4 8

(bx)4(2a)4=70×2⁴a⁴b⁴x⁴=10080x⁴．

点评：本题考查二项式定理系数的形状，二项式定理的应用，考查计算能力．